函数极限的证明精选多篇
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2024-08-18
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第一篇：函数极限的证明
函数极限的证明
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例 2验证例 3……验证证
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
“”定义函数极限的 定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例 5验证例 6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例 8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
th 类似有:例10 证明:极限不存在.
例11 设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2 函数极限的性质(3 学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性
等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、 授新 ：讲 课
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4 若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在 th4 的条件中,“” “”改 为 ,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:( “只证 +” “”和)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五 基本极限作 公式用组 为 ,我们将陆续
证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极
限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第二篇：函数极限证明
函数极限证明
记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明 limg(x)=max{a1,...am},x 趋于正无穷。把 max{a1,...am}记作 a。
不妨设 f1(x)趋于 a;作b>a>=0,m>1;
那么存在 n1,当x>n1,有a/m<=f1(x)注意到 f2 的极限小于等于 a，那么存在 n2，当 x>n2
时，0<=f2(x)同理，存在 ni，当 x>ni 时，0<=fi(x)取n=max{n1,n2...nm};
那么当 x>n,有
(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n 所以 a/m<=^(1/n)
第三篇：二元函数极限证明
二元函数极限 明证
设p=f(x,y),p0=(a,b)，当 p→p0 时f(x,y)的极限是 x,y 同 向于时趋 a,b 时所得到的称为
二重极限。
此外，我们还要讨论 x,y 先后相继地趋于 a,b 时的极限,称为二次极限。
我们必须(转载需注明来源：WwW.haoword.cOM) ’注意有以下几种情形：
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在
(2)两个二次极限存在而不相等
(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在
2
函数 f(x)当x→x0 时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)
根据定义:对任意 ε>0,存在 δ>0,使当|x-x0|<δ 时,有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ 即为 x属于 x0 的某个邻域 u(x0;δ)
又因为 ε有任意性,故可取 ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1
再取 m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在 δ>0,当任意 x属于 x0 的某个邻域 u(x0;δ)时,有|
f(x)|
证毕
3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
1，y以y=x^2-x 的路径趋于 0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1 而y=x 的路径
趋于 0结果是无穷大。
摘要：
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第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3……验证证(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.“”定义函数极限的定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻...
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